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Preparatoria · 3.º grado · Pensamiento matemático

Temas selectos de matemáticas II · Cálculo · 3.º de prepa

Domina funciones, límites, derivadas e integrales para modelar cambios, optimizar situaciones reales y calcular áreas bajo curvas.

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Temario: 8 unidades

  1. Unidad 1 · Funciones: la base del cálculo

    Evaluar funciones, determinar su dominio y rango, y reconocer sus tipos principales.

    • Qué es una función
    • Dominio y rango
    • Funciones cuadráticas
    • Composición de funciones

  2. Unidad 2 · Límites

    Calcular límites por sustitución, factorización y al infinito, e interpretar límites laterales.

    • La idea de límite
    • Indeterminación 0/0
    • Límites laterales
    • Límites al infinito

  3. Unidad 3 · Continuidad

    Determinar si una función es continua en un punto y clasificar sus discontinuidades.

    • Las tres condiciones
    • Discontinuidad removible
    • Salto y asíntota
    • Teorema del valor intermedio

  4. Unidad 4 · La derivada

    Interpretar la derivada como razón de cambio y pendiente de la tangente, y calcularla por definición.

    • Razón de cambio promedio
    • Definición de derivada
    • Pendiente de la tangente
    • Velocidad instantánea

  5. Unidad 5 · Reglas de derivación

    Derivar funciones con las reglas de la potencia, producto, cociente y cadena, y funciones trascendentes.

    • Regla de la potencia
    • Producto y cociente
    • Regla de la cadena
    • Funciones trascendentes

  6. Unidad 6 · Máximos y mínimos

    Localizar máximos, mínimos y puntos de inflexión, y resolver problemas de optimización.

    • Puntos críticos
    • Criterio de la primera derivada
    • Segunda derivada y concavidad
    • Optimización

  7. Unidad 7 · Integral indefinida

    Calcular antiderivadas con las reglas básicas y usar condiciones iniciales para hallar la constante.

    • Antiderivada
    • Regla de la potencia
    • Integrales básicas
    • Condición inicial

  8. Unidad 8 · Integral definida y área bajo la curva

    Calcular integrales definidas con el teorema fundamental y usarlas para obtener áreas y cantidades acumuladas.

    • Sumas de Riemann
    • Teorema fundamental del cálculo
    • Área bajo la curva
    • Área entre curvas

Lección de muestra: Funciones: la base del cálculo

Así se ve la unidad 1 completa. Evaluar funciones, determinar su dominio y rango, y reconocer sus tipos principales.

Qué es una función

Una función es una regla que asigna a cada valor de entrada x exactamente un valor de salida y = f(x). Evaluar significa sustituir x por un número y operar.

Ejemplo: f(x) = 2x + 3 → f(4) = 2(4) + 3 = 11

Dominio y rango

El dominio son los valores de x permitidos; el rango, los valores que toma y. Cuidado con divisiones entre cero y raíces cuadradas de números negativos.

Ejemplo: f(x) = √(x − 2): se necesita x − 2 ≥ 0, así que el dominio es x ≥ 2 y el rango es y ≥ 0.

Funciones cuadráticas

En f(x) = ax² + bx + c la gráfica es una parábola. Su vértice está en x = −b/(2a); si a > 0 abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.

Ejemplo: g(x) = x² − 4x + 3 → x = −(−4)/(2·1) = 2; g(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Vértice (2, −1).

Composición de funciones

Componer es aplicar una función al resultado de otra: (f∘g)(x) = f(g(x)). Primero se evalúa la función de adentro, g, y luego la de afuera, f.

Ejemplo: f(x) = x², g(x) = x + 1 → (f∘g)(2) = f(g(2)) = f(3) = 9

Prueba un ejercicio

Piensa tu respuesta y luego ábrela para ver si acertaste y por qué.

  1. Pregunta 1 · Opción múltiple
    ¿Cuál es el dominio de f(x) = 1/(x − 5)?

    1. Todos los reales excepto 5
    2. Todos los reales
    3. x > 5
    4. Todos los reales excepto −5
    Ver respuesta

    Respuesta: A) Todos los reales excepto 5

    El denominador no puede ser cero: x − 5 = 0 ocurre solo en x = 5. Cualquier otro número real sí se puede sustituir.

  2. Pregunta 2 · Opción múltiple
    ¿Cuál es el dominio de f(x) = √(x + 4)?

    1. x > −4
    2. x ≤ −4
    3. x ≥ −4
    4. x ≥ 4
    Ver respuesta

    Respuesta: C) x ≥ −4

    El radicando debe ser mayor o igual a cero: x + 4 ≥ 0, es decir, x ≥ −4. Se incluye −4 porque √0 = 0 existe.

  3. Pregunta 3 · Verdadero o falso
    La ecuación x² + y² = 25 define a y como función de x.

    Ver respuesta

    Respuesta: Falso

    Para x = 3 se obtienen dos valores: y = 4 y y = −4. Una función asigna un solo valor de salida a cada entrada.

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